*本文節(jié)選自《數(shù)學(xué)與人類文明》，蔡天新著，商務(wù)印書(shū)館。

當(dāng)人們發(fā)現(xiàn)一對(duì)雛雞和兩天之間有某種共同的東西（數(shù)字2）時(shí)，數(shù)學(xué)就誕生了。

——伯特蘭·羅素

1、記數(shù)的開(kāi)始

如同古代世界的許多偉人一樣，數(shù)學(xué)史上的先驅(qū)人物也消失在歷史的迷霧中。然而，數(shù)學(xué)每前進(jìn)一步，都伴隨著人類文明的一次進(jìn)步。億萬(wàn)年前，那些居住在巖洞里的人就有了數(shù)的概念，在為數(shù)不多的事物中間增加或取出幾個(gè)同樣的事物，他們能分辨出多寡（不少動(dòng)物也具有這類意識(shí)）。本來(lái)，對(duì)食物的需求出自人類的生存本能。慢慢地，人類就有了明確的數(shù)的概念：1，2，3，……正如部落的頭領(lǐng)需要知道有多少成員，牧羊人也需要知道他擁有多少只綿羊。

在有文字記載以前，記數(shù)和簡(jiǎn)單的算術(shù)就發(fā)展起來(lái)了。打獵的人知道，把2枚箭矢和3枚箭矢放在一起就有了5枚箭矢。就像不同種族稱呼家庭主要成員的聲音大同小異一樣，人類最初的計(jì)數(shù)***也是相似的，例如，當(dāng)數(shù)羊的只數(shù)時(shí)，每有一只羊就扳一個(gè)手指頭。后來(lái)，才逐漸衍生出三種有代表性的記數(shù)***，即石子記數(shù)（有的是用小木棍）、結(jié)繩記數(shù)和刻痕記數(shù)（土坯、木頭、石塊或獸骨上），這樣不僅可以記錄較大的數(shù)字，也便于累計(jì)和保存。

在古希臘的荷馬史詩(shī)《奧德賽》中有這樣一則故事：當(dāng)主人公奧德修斯刺瞎了獨(dú)眼巨人波呂斐摩斯僅有的一只眼睛以后，那個(gè)不幸的盲老人每天都坐在自己的山洞里照料他的羊群。早晨羊兒外出吃草，每出來(lái)一只，他就從一堆石子里撿出一顆。晚上羊兒返回山洞，每進(jìn)去一只，他就扔掉一顆石子。當(dāng)他把早晨撿起的石子全都扔光時(shí)，他就確信所有的羊兒返回了山洞。這則故事告訴我們，很可能是牧羊人計(jì)算羊群的只數(shù)產(chǎn)生了數(shù)學(xué)，正如詩(shī)歌起源于乞求豐收的禱告，這兩項(xiàng)人類最古老的發(fā)明均源于生存的需要。

說(shuō)來(lái)有點(diǎn)殘酷，一些美洲印第安人通過(guò)收集被殺者的頭皮來(lái)算計(jì)他們殺敵的數(shù)目，而一些非洲的原始獵人通過(guò)積累野豬的牙齒來(lái)算計(jì)他們殺死野豬的數(shù)目。據(jù)說(shuō)，居住在乞力馬扎羅山坡上游牧民族的少女習(xí)慣在頸上佩戴銅環(huán)，其個(gè)數(shù)等于自己的年齡，這比起如今緬甸某些少數(shù)民族的婦女所保持的相似的習(xí)俗多了審美以外的含義。從前，英國(guó)酒保往往用粉筆在石板上畫記號(hào)來(lái)計(jì)數(shù)顧客飲酒的杯數(shù)，而西班牙酒保則通過(guò)向顧客的帽子里投放小石子來(lái)做這一計(jì)數(shù)，這兩種不同的計(jì)數(shù)***似乎也反映出這兩個(gè)民族不同的個(gè)性：謹(jǐn)慎和浪漫。

后來(lái)，就產(chǎn)生了各種各樣的語(yǔ)言，包括對(duì)應(yīng)于大小不同的數(shù)的語(yǔ)言符號(hào)。再后來(lái)，隨著書(shū)寫方式的改良，就形成了代表這些數(shù)的書(shū)寫符號(hào)。最初，在諸如兩只羊和兩個(gè)人所用的語(yǔ)音和用詞也是不同的。例如，在英語(yǔ)中teamofhorses（共同拉車或拉犁的兩匹馬），yokeofoxen（共軛的兩頭牛），spanofmules（兩只騾），braceofdogs（一對(duì)狗），pairofshoes（一雙鞋），等等。至于漢語(yǔ)里的量詞變化，那就更多了，且一直保留至今。

可是，人類把數(shù)2作為共同性質(zhì)抽象出來(lái)，并采用與大多數(shù)具體事物均無(wú)關(guān)的某個(gè)語(yǔ)音來(lái)替代它，或許是經(jīng)過(guò)了很長(zhǎng)時(shí)間才實(shí)現(xiàn)的。如同英國(guó)哲學(xué)家兼數(shù)學(xué)家伯特蘭·羅素所說(shuō)的，“當(dāng)人們發(fā)現(xiàn)一對(duì)雛雞和兩天之間有某種共同的東西（數(shù)字2）時(shí)，數(shù)學(xué)就誕生了。”而在我看來(lái)，數(shù)學(xué)的誕生或許要稍晚一點(diǎn)，即是在人們從“2只雞蛋加3只雞蛋等于5只雞蛋，2枚箭矢加3枚箭矢等于5枚箭矢，等等”中抽象出“2+3=5”之時(shí)。

2、數(shù)基和進(jìn)制

當(dāng)需要進(jìn)行更廣泛的數(shù)字交流時(shí)，就必須將計(jì)數(shù)***系統(tǒng)化。世界各地的人們不約而同地采取了以下***：把從1開(kāi)始的若干連續(xù)的數(shù)字作為基本數(shù)字，以它們的組合來(lái)表示大于這些數(shù)字的數(shù)。換言之，如果大于1的某個(gè)數(shù)b作為計(jì)數(shù)的進(jìn)位制或基（base），并確定出數(shù)目1，2，3，……，b的名稱，則任何大于b的數(shù)均可以用這b個(gè)數(shù)的一個(gè)組合表示。

有證據(jù)表明，2，3和4都曾被當(dāng)作原始的數(shù)基。例如，澳大利亞昆士蘭州的原住民是這么計(jì)數(shù)的，“1，2，2和1，兩個(gè)2，……”。某些非洲矮人是這么稱呼最前面的6個(gè)自然數(shù)的，“a，oa，ua，oa-oa，oa-oa-a，oa-oa-oa。”這兩種計(jì)數(shù)均為2進(jìn)制，它的應(yīng)用后來(lái)導(dǎo)致了電子計(jì)算機(jī)的發(fā)明。而阿根廷火地島的一個(gè)部落和南美的其他一些部落則分別以數(shù)字3和4為基。

不難設(shè)想，由于人類的每只手和腳均有5個(gè)手指或腳趾，5進(jìn)制一度得到了廣泛的應(yīng)用。至今某些南美部落仍用手計(jì)數(shù)，“1，2，3，4，手，手和1，等等”。直到1880年，德國(guó)的農(nóng)歷仍以5為數(shù)基。1937年，在捷克摩拉維亞地區(qū)出土的一塊幼狼脛骨上，幾十道刻痕明顯是以5進(jìn)制排列的。而西伯利亞的尤卡吉爾人居住在世界上最寒冷的地方（勒拿河下游），至今仍采用一種類似于5-10混合進(jìn)制的方式計(jì)數(shù)。

12也常被用來(lái)作數(shù)基，這可能與它被6個(gè)數(shù)整除有關(guān)，也可能是因?yàn)橐荒暧?2個(gè)溯望月。例如，1英尺有12英寸，1英寸有12英分，1先令是12便士，1英鎊是12盎司（金衡制，常衡制是16盎司）。有意思的是，直到上個(gè)世紀(jì)70年代，中國(guó)鄉(xiāng)村的秤還刻有兩種進(jìn)制，包括16進(jìn)制。與此同時(shí)，沒(méi)有12進(jìn)制的中國(guó)人的文字里也有“打”這個(gè)概念。而英語(yǔ)里除了dozen（打）以外，甚至還有g(shù)ross（籮），一籮是12打，一打是12個(gè)。

20進(jìn)制也曾被廣泛使用，它使我們想起人類的赤腳時(shí)代，一雙腳和一雙手共有20個(gè)指頭。美洲印第安人使用過(guò)它，包括高度發(fā)達(dá)的瑪雅文明。在法語(yǔ)里，至今仍用4個(gè)20來(lái)表示80（quatre-vingts），4個(gè)20加10來(lái)表示90（quatre-vingt-dix）。丹麥人、威爾士人和蓋爾人的語(yǔ)言中也能發(fā)現(xiàn)這種痕跡，令人驚奇的是，這些地方并非都是溫帶。在英語(yǔ)里20（score）是個(gè)常用字，而漢語(yǔ)里也有“廿”這個(gè)字。至于古代巴比倫人使用的60進(jìn)制，即使在今天仍在時(shí)間和角度計(jì)量單位中不可或缺。

可是，人類最終仍普遍接受了10進(jìn)制。在有記載的歷史中，包括古埃及的象形數(shù)字、中國(guó)的甲骨文數(shù)字和籌算數(shù)碼、希臘的阿提卡數(shù)字、印度的婆羅門數(shù)字，等等，都采用了10進(jìn)制。在我們的頭腦里，10已成為數(shù)制的必然單位，正如2已被電腦特別擁有。原因十分簡(jiǎn)單，博學(xué)的希臘哲學(xué)家亞里士多德已經(jīng)為我們指出，“10進(jìn)制的廣泛采納，只不過(guò)是由于我們絕大多數(shù)人生來(lái)具有10個(gè)手指這樣一個(gè)解剖學(xué)的事實(shí)結(jié)果。”

除了口說(shuō)以外，用手指表達(dá)數(shù)也曾長(zhǎng)期被采納。英語(yǔ)里的digit原本是指手指或腳趾，后來(lái)才表示從1到9這些數(shù)字，如今我們正處于數(shù)字時(shí)代（digitalage）。事實(shí)上，原始人甚或開(kāi)化的人，在進(jìn)行口頭計(jì)數(shù)時(shí)往往同時(shí)做出一些手勢(shì)。例如，當(dāng)說(shuō)到“十”字，往往用一只手拍另一只手的手心。而某些部落或民族，我們可以通過(guò)觀察他們計(jì)數(shù)時(shí)的手語(yǔ)來(lái)判斷其歸屬。在今天的中國(guó)，我們?nèi)匀豢梢酝ㄟ^(guò)一個(gè)人劃拳的手勢(shì)大致弄清楚他或她究竟來(lái)自哪個(gè)地區(qū)或省份。

3、***數(shù)系

據(jù)考古學(xué)發(fā)現(xiàn)，刻痕記數(shù)大約出現(xiàn)在三萬(wàn)年以前，經(jīng)過(guò)極其緩慢的發(fā)展，大約在公元前三千多年，終于出現(xiàn)了書(shū)寫記數(shù)和相應(yīng)的數(shù)系。可能是受手指表達(dá)數(shù)的影響，最早的表示數(shù)1，2，3和4的書(shū)寫符號(hào)大多是相應(yīng)數(shù)目的豎或橫的堆積。前者有古埃及的象形文字、希臘的阿提卡數(shù)字和中國(guó)的縱式籌碼數(shù)字和瑪雅數(shù)字，后者有中國(guó)的甲骨文數(shù)字和橫式籌碼數(shù)字以及印度的婆羅門數(shù)字（數(shù)4例外）。

有意思的是，以上提到的受手指影響用豎或橫來(lái)表達(dá)前4個(gè)數(shù)的數(shù)系均不約而同的采用了10進(jìn)制，而另外兩種著名的數(shù)系，即巴比倫的楔形數(shù)字和瑪雅數(shù)字，分別用一個(gè)個(gè)銳利的小等腰三角形和小圓點(diǎn)來(lái)表示，卻采用了60進(jìn)制和20進(jìn)制。在數(shù)5和5以后，即使同屬豎寫的數(shù)系也有不同表達(dá)法，以10為例，古埃及人用軛或鍾骨∩（***論中的“并”），古希臘人用△（第4個(gè)希臘字母），而中國(guó)人則用4個(gè)豎上面加1橫。

所謂***數(shù)系是指由0，1，2，3，……，9這10個(gè)記號(hào)及其組合表達(dá)出來(lái)的10進(jìn)制數(shù)字體系。例如，在911這個(gè)數(shù)中，右邊的1表示1個(gè)，中間的1卻表示1乘以10，而9表示9乘以100。在今天世界上存在的數(shù)以千計(jì)的語(yǔ)言系統(tǒng)里，這10個(gè)***數(shù)字是惟一通用的符號(hào)（比拉丁字母使用范圍更廣）。可以想象，假如沒(méi)有***數(shù)系，全球范圍內(nèi)的科技、文化、政治、經(jīng)濟(jì)、軍事和體育方面的交流將變得十分困難，甚至不可能進(jìn)行。

***數(shù)系也被稱為印度-***數(shù)系，這是因?yàn)樗怯《热税l(fā)明的，經(jīng)由***人改造后傳遞到西方。后一項(xiàng)文明的流通是在12世紀(jì)完成的，前一項(xiàng)發(fā)明的起源就不得而知了，只是由于近代考古學(xué)的進(jìn)展，在印度的一批石柱和窯洞的墻壁上發(fā)現(xiàn)這些數(shù)字的痕跡，其年代大約在公元前250年到公元200年之間。值得一提的是，那些痕跡里并沒(méi)有零號(hào)，而在公元825年前后，***人花拉子密的著作《印度的計(jì)算術(shù)》里卻描述了已經(jīng)完備的印度數(shù)碼，今日英文和德文里的零就是依據(jù)***文音譯的。

***數(shù)字是隨著***人鼎盛時(shí)期的遠(yuǎn)征傳入北非和西班牙的，據(jù)說(shuō)一位叫萊奧拉多的意大利人曾受教于西班牙的***數(shù)學(xué)家，還曾游歷北非。他回到意大利以后，于1202年出版了一部數(shù)學(xué)著作，這是***數(shù)字傳入***以外的歐洲的里程碑，對(duì)稍后的意大利文藝復(fù)興時(shí)期的數(shù)學(xué)有一定的促進(jìn)作用。有意思的是，也是在13世紀(jì)，威尼斯人馬可·波羅實(shí)現(xiàn)了歐洲人對(duì)東方的首次訪問(wèn)。其時(shí)橫跨歐亞大陸的君士坦丁堡是個(gè)戰(zhàn)亂紛爭(zhēng)之地，這位旅行家也是經(jīng)由北非和中東繞過(guò)地中海，不過(guò)是沿著與***數(shù)字傳播路線相反的方向。

4、形而幾何學(xué)

數(shù)系的出現(xiàn)使得數(shù)的書(shū)寫和數(shù)與數(shù)之間的運(yùn)算成為可能，在此基礎(chǔ)上加、減、乘、除乃至于初等算術(shù)便在幾個(gè)古老的文明地區(qū)發(fā)展起來(lái)，而后來(lái)數(shù)系的統(tǒng)一則使世界數(shù)學(xué)的研究和應(yīng)用插上了翅膀。與數(shù)的概念形成一樣，人類最初的幾何知識(shí)也是他們從對(duì)形的直覺(jué)中萌發(fā)出來(lái)的，例如，不同種族的人都注意到了圓月和挺拔的松樹(shù)在形象上的區(qū)別。可以想見(jiàn)，幾何學(xué)便是建立在對(duì)這類從自然界提取出來(lái)的“形”的總結(jié)的基礎(chǔ)之上。

一條直線只是一段拉緊了的繩子，來(lái)自希臘文的英文Hypotenuse（斜邊、弦）的原意就是“拉緊”。我們可以設(shè)想，這是將一個(gè)直角的兩臂拉緊后的聯(lián)線，而arms（手臂）也就成了兩條直角邊。如此看來(lái)，三角形的概念是人們通過(guò)對(duì)自己身體的觀察得到的。巧合的是，在古代中國(guó)也是這樣，勾、股作為小腿和大腿同時(shí)也是直角三角形中較短或較長(zhǎng)的直角邊，因而我們才有勾股定理的稱謂。在西安半坡出土的陶器殘片上，我們可以看到完整的全等三角形圖案，每條邊由間隔相等的8個(gè)小孔連接而成。同樣，圓、正方形、長(zhǎng)方形等一系列幾何形式的概念也來(lái)自于人們的觀察和實(shí)踐。

正如古羅馬歷史學(xué)家希羅多德所指出的，埃及的幾何學(xué)是“尼羅河的饋贈(zèng)”。早在公元前14世紀(jì)或更早，埃及的一個(gè)國(guó)王將土地分封給所有的國(guó)民，每個(gè)人都得到一塊同樣面積大小的土地，然后據(jù)此納稅。如果一年一度的尼羅河洪水沖毀了某個(gè)人的土地，那么它就必須向法老報(bào)告所受的損失。法老會(huì)派專人來(lái)測(cè)量所失去的土地，再按相應(yīng)的比例減稅。這樣一來(lái)，幾何學(xué)（geomerty）就產(chǎn)生并發(fā)展起來(lái)了，geo意指土地，metron是測(cè)量。這類專門負(fù)責(zé)測(cè)量事物的人有專門的名稱，叫做“司繩”（rope-stretcher）。

巴比倫人的幾何學(xué)也是源于實(shí)際的測(cè)量，它的重要特征是其算術(shù)性質(zhì)，至少在公元前1600年，他們就已熟悉長(zhǎng)方形、直角三角形和等腰三角形和某些梯形的面積計(jì)算。古印度幾何學(xué)的起源則與宗教和建筑實(shí)踐密切相關(guān)，公元前8世紀(jì)至5世紀(jì)形成的所謂繩法經(jīng)，便是關(guān)于祭壇與寺廟建造中的幾何問(wèn)題及其求解。在古代中國(guó)，幾何學(xué)的起源更多地與天文觀測(cè)相聯(lián)系，至晚在公元前2世紀(jì)成書(shū)的《周髀算經(jīng)》討論的正是天文測(cè)量中所用的幾何***。

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