對數求導（對數求導法公式）

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圖源：unsplash

就業市場上，機器學習工程師總是受到質疑，人們不相信他們數學功底深厚。事實上，所有機器學習算法的本質都是數學問題，無論是支持向量機、主成分分析還是神經網絡最終都歸結為對偶優化、譜分解篩選和連續非線性函數組合等數學問題。只有徹底理解數學，才能正真掌握這些機器學習算法。

Python中的各種數據庫能幫助人們利用高級算法來完成一些簡單步驟。例如包含了K近鄰算法、K均值、決策樹等算法的機器學習算法庫Scikit-learn，或者Keras，都可以幫助人們構建神經網絡架構，而不必了解卷積神經網絡CNNs或是循環神經網絡RNNs背后的細節。

然而，想要成為一名優秀的機器學習工程師需要的遠不止這些。在面試時，面試官通常會問及如何從零開始實現K近鄰算法、決策樹，又或者如何導出線性回歸、softmax反向傳播方程的矩陣閉式解等問題。

本文將回顧一些微積分的基本概念助你準備面試，如一元和多元函數的導數、梯度、雅可比矩陣和黑塞矩陣。同時，本文還能為你深入研究機器學習、尤其是神經網絡背后的數學運算打下良好的基礎。這些概念將通過5個導數公式來展示，絕對是面試必備干貨。

導數1：復合指數函數

指數函數非?；A常見，而且非常有用。它是一個標準正函數。在實數?中e?>0，同時指數函數還有一個重要的性質，即e?=1。

另外，指數函數與對數函數互為反函數。指數函數也是最容易求導的函數之一，因為指數函數的導數就是其本身，即(e?)’=e?。當指數與另一個函數組合形成一個復合函數時，復合函數的導數就變得更為復雜了。在這種情況下，應遵循鏈式法則來求導，f(g(x))的導數等于f’(g(x))?g’(x)，即：

運用鏈式法則可以計算出f(x)=e?2的導數。先求g(x)=x2的導數：g(x)’=2x。而指數函數的導數為其本身：(e?)’=e?。將這兩個導數相乘，就可以得到復合函數f(x)=e?2的導數：

這是個非常簡單的例子，乍一看可能無關緊要，但它經常在面試開始前被面試官用來試探面試者的能力。如果你已經很久沒有溫習過導數了，那么很難確保自己能夠迅速應對這些簡單問題。雖然它不一定會讓你得到這份工作，但如果你連這么一個基本問題都回答不上，那你肯定會失去這份工作。

導數2：底數為變量的復變指數

復變指數函數是一個經典面試問題，尤其是在計量金融領域，它比科技公司招聘機器學習職位更為看重數學技能。復變指數函數迫使面試者走出舒適區。但實際上，這個問題最難的部分是如何找準正確的方向。

當函數逼近一個指數函數時，首先最重要的是要意識到指數函數與對數函數互為反函數，其次，每個指數函數都可以轉化為自然指數函數的形式：

在對復變指數函數f(x)=x?求導前，要先用一個簡單的指數函數f(x)=2?來證明復變函數的一種性質。先用上述方程將2?轉化為exp(xln(2))，再用鏈式法則求導。

現在回到原來的函數f(x)=x?，只要把它轉化為f(x)=exp(xlnx)，求導就變得相對簡單，可能唯一困難的部分是鏈式法則求導這一步。

注意這里是用乘積法則(uv)’=u’v+uv’來求指數xln(x)的導數。

通常情況下，面試官提問這個函數時不會告訴你函數定義域。如果面試官沒有給定函數定義域，他可能是想測試一下你的數學敏銳度。這便是這個問題具有欺騙性的地方。沒有限定定義域，x?既可以為正也可以為負。當x為負時，如(-0.9)^(-0.9)，結果為復數-1.05–0.34i。

一種解決***是將該函數的定義域限定為??∪??

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