一命題趨勢

基本不等式是解決函數值域、最值、不等式證明、參數范圍問題的有效工具，在高考中經常考查，有時也會對其單獨考查．題目難度為中等偏上．應用時，要注意“拆、拼、湊”等技巧，特別要注意應用條件，只有具備公式應用的三個條件時，才可應用，否則可能會導致結果錯誤．

二知識網絡

三數學思想在不等式問題中的體現

1、分類討論思想

例1.已知不等式，（1）求該不等式中x的***；（2）若1不是不等式的解，0是不等式的解，求k的取值范圍。

解：（1）

當k>1時，解集為

當時，解集為

當k<1時，解集為

（2）

所以

小結：當一次項系數為0時，不等式成為兩個常數比較大小的形式，與x取值無關。

因此，不等式的解集為R（不等式成立時）或（不等式不成立時）。

2、轉化與化歸思想

例2.已知a，b，c為正整數，且，求的值。

解：因為不等式兩邊均為正整數，所以不等式與不等式等價，這個等價不等式又可轉化為。

∴

∴

即a=2，b=3，c=6

小結：將等式與不等式對應等價轉化，是轉化數學問題的常用且非常有效的手段。

3、換元思想

例3.解不等式

解：若令則

∵，且

∴

∴不等式化為

即

∴

解得

從而

即

∴不等式的解集是

4、數形結合思想

例4.設a<0為常數，解不等式。

解：不等式轉化為

令函數和

其圖象如圖所示

由

解得

（舍去）

∴兩個函數圖象的交點為

由圖知，當時，函數的圖象位于函數的圖象的上方

∴不等式的解集是

小結：在不等式的求解過程中，換元法和圖象法是常用的技巧。

通過換元，可將較復雜的不等式化歸為較簡單的不等式或基本不等式，

通過構造函數，數形結合，則可將不等式的解化歸為直觀、形象的圖象關系。

對含有參數的不等式，運用圖象法，還可以使得分類標準更加明晰。

5、方程思想

例5.已知，求證

分析：結論可以轉化為，恰好是一元二次方程有實根的必要條件。

解：由已知可化為，這表明二次方程有實根，從而需要判別式，即成立。

6、構造思想

例6.解不等式

分析：本題若直接將左邊通分采用解高次不等式的思維來做，運算較繁雜。

但注意到，且題中出現，

啟示我們構造函數去投石問路。

解：將原不等式化為

令

則不等式等價于

∵在R上為增函數

∴原不等式等價于

解得

7、整體思想

例7.已知，且，求的范圍。

解：令

可得

∴

又

可解得

小結：題中，且是四個整體，在解題過程中，整體謀劃，不能破壞其固有的整體結構。

四典型例題精選

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題型一對公式的簡單運用

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題型二：條件最值問題

【小結】條件最值的求解通常有兩種***：一是消元法，即根據條件建立兩個量之間的函數關系，然后代入代數式轉化為函數的最值求解；二是將條件靈活變形，利用常數“1”代換的***構造和或積為常數的式子，然后利用基本不等式求解最值．

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【小結】看好形式上的特點，分子分母同時除以自變量x，或通過其他變形出現基本不等式的可用情況，如積為定值的形式．需要注意的是等號成立的條件，如果不成立，則需轉化為對勾函數的知識，運用求導并結合其圖像解題．

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題型四多變量綜合

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題型五利用基本不等式證明

【小結】基本不等式具有將“和式”轉化為“積式”和將“積式”轉化為“和式”的放縮功能,常常用于比較數(式)的大小或證明不等式,解決問題的關鍵是分析不等式兩邊的結構特點,選擇好利用基本不等式的切入點．

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題型六基本不等式應用題

【小結】此題主要考察學生對直角三角形邊角關系的應用，第二問還考察學生對兩角差的正切公式和基本不等式的熟練運用，第一問屬于簡單題，第二問屬于中等題．

以實際問題為背景的解題步驟：

(1)設變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數．

(2)根據實際問題抽象出函數的解析式后，只需利用基本不等式求得函數的最值．

(3)在求函數的最值時，一定要在定義域(使實際問題有意義的自變量的取值范圍)內求解．

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總結

使用基本不等式求最值時，“一正”“二定”“三相等”三個條件缺一不可．連續使用基本不等式求最值要求每次等號成立的條件一致．基本不等式問題經常以函數為依托，重點考查基本不等式的應用，充分體現了數學學科知識間的內在聯系，能較好的考查學生對基本知識的識記能力和靈活運用能力．其解題的關鍵是對已知函數進行適當的變形，以滿足基本不等式應用的條件．

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