在中國(guó)文化里，有句成語(yǔ)這么說(shuō)道：九九歸一，意思是算來(lái)算去最后還是回到最初，還了原，歸根結(jié)底也算是九九歸原。

這句成語(yǔ)蘊(yùn)含著周而復(fù)始的意思，在數(shù)學(xué)里也得到完美的體現(xiàn)。我們從整數(shù)0開(kāi)始數(shù)1，2，3，4，5，6,7,8,9，經(jīng)過(guò)十進(jìn)制的處理，又從0開(kāi)始。

我們?cè)賮?lái)看下面這樣一個(gè)算式：

1/3×3=1.

對(duì)于這樣的等式計(jì)算，大家都很容易理解。

不過(guò)，有些人卻提出異議：

認(rèn)為1/3=0.333……（無(wú)限循環(huán)小數(shù)）；

所以1/3×3=0.333……×3=0.999……（無(wú)限循環(huán)小數(shù)）

又因?yàn)?/3×3=1，

所以0.999……=1，但0.999……=1嗎？

對(duì)于無(wú)限循環(huán)小數(shù)0.999……，我們從常規(guī)的角度去理解，就是小數(shù)點(diǎn)后面有無(wú)數(shù)個(gè)9，不過(guò)，這里有個(gè)疑問(wèn)：

0.9＜1，

0.99＜1,

0.999＜1，

0.9999＜1，

以此類推，有人就提出這樣的結(jié)論：無(wú)限循環(huán)小數(shù)0.999……＜1，最多只能是無(wú)限接近于1。因此，對(duì)于“0.999……=1？”這個(gè)問(wèn)題，自從幾百年前被某位數(shù)學(xué)家提出來(lái)之后，一直到現(xiàn)在還是一個(gè)爭(zhēng)論不休的話題。雖然很多數(shù)學(xué)家都提出一些比較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明***，但始終無(wú)法讓普通人以平常的視角去接受這個(gè)等式。

之后，有人給出了這樣一個(gè)的證明過(guò)程：

設(shè)x=0.999……①

所以10x=9.999……②

②-①兩式相減得9x=9，

所以x=1.

對(duì)于這樣的證明過(guò)程，有人認(rèn)為可以把0.999……看成無(wú)限個(gè)分?jǐn)?shù)的和：

0.999……=9/10+9/100+9/1000+……

因此，這些人認(rèn)為0.999……代表著一個(gè)計(jì)算過(guò)程的結(jié)果，而“1”又是另一個(gè)數(shù)，缺少一定的嚴(yán)謹(jǐn)，怎么可以等價(jià)起來(lái)呢？

問(wèn)題的爭(zhēng)論的焦點(diǎn)就集中在“0.999……”到底是一個(gè)結(jié)果，還是代表著一個(gè)過(guò)程，這就是數(shù)學(xué)里所謂的二義性。

什么是二義性？

某個(gè)句子存在不只一棵語(yǔ)法樹(shù)，則稱該句子是二義性的。

其實(shí)像“0.999…=9/10+9/100+9/1000+……”這個(gè)無(wú)限的過(guò)程，我們也可以理解成一個(gè)數(shù)。

如一開(kāi)始用“1/3=0.333……”去證明“0.999……=1”，很多人都相信這個(gè)證明過(guò)程是對(duì)的，主要是一開(kāi)始在潛意識(shí)里認(rèn)為第一步“1/3=0.333……”就是對(duì)的，基于這樣的原始認(rèn)知，后面的證明過(guò)程也就沒(méi)有問(wèn)題。

從某角度上來(lái)看，無(wú)論是“1/3=0.333……”還是“0.999……=1”，本質(zhì)上都是一樣，當(dāng)你承認(rèn)其中一個(gè)成立的時(shí)候，另一個(gè)自然也就成立。不過(guò)，無(wú)論是哪一種情況，很多人會(huì)認(rèn)為0.999……只是無(wú)限接近于1，并不能很?chē)?yán)謹(jǐn)、很準(zhǔn)確的說(shuō)明這個(gè)值就一定等于1。

這個(gè)問(wèn)題深耕的結(jié)果，就是造成很多人也認(rèn)為0.333……無(wú)限接近于1/3，但并不能直接說(shuō)明等于1/3。

雖然在某些算式里，我們已經(jīng)能去證明“0.999……=1”，但在0.999……這個(gè)無(wú)限循環(huán)小數(shù)里，每增加一個(gè)9，無(wú)非代表這個(gè)數(shù)無(wú)限接近于1，但實(shí)際上給人的感覺(jué)就是0.999……本身是比1小的。

接近是一回事，等價(jià)又是另一回事。

有的數(shù)學(xué)家就提出新的證明思路，既然有無(wú)窮個(gè)“9”，那么就用極限的概念去證明。

后出現(xiàn)了***論，又給出如下的證明過(guò)程：

給定一組區(qū)間套，則數(shù)軸上恰有一點(diǎn)包含在所有這些區(qū)間中0.999……對(duì)應(yīng)于區(qū)間套[0,1]、[0.9,1]、[0.99,1]、[0.999,1]……，而所有這些區(qū)間的唯一交點(diǎn)就是1，所以0.999……=1。

或者是這樣的證明：

所有比0.999……小的有理數(shù)都比1小，而可以證明所有小于1的有理數(shù)總會(huì)在小數(shù)點(diǎn)后某處異于0.999……（因而小于0.999……），這說(shuō)明0.999……和1的戴德金分割是一樣的***，從而說(shuō)明0.999……=1。

?對(duì)于“0.999……=1”的證明，隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，其證明***越來(lái)越多，也越來(lái)越完善和嚴(yán)謹(jǐn)，但始終沒(méi)有解決其中的疑慮：0.999……只是無(wú)限接近于1，應(yīng)該是小于1，為什么一定會(huì)等于1呢？

如何證明“0.999……=1”，估計(jì)還會(huì)爭(zhēng)論很久，或許在將來(lái)某個(gè)時(shí)刻會(huì)因?yàn)檫@個(gè)證明誕生更偉大的數(shù)學(xué)成果，也有可能就是一個(gè)無(wú)法解決的問(wèn)題。不過(guò)，這也正是數(shù)學(xué)的魅力所在，往往一個(gè)問(wèn)題的出現(xiàn)，其解決過(guò)程會(huì)推動(dòng)數(shù)學(xué)某些領(lǐng)域，甚至影響其他學(xué)科的發(fā)展。