飛船以第二宇宙速度沿水平方向飛出，能擺脫地球的引力束縛嗎？空間站受到擾動會不會掉下來？3月20日12時，《張朝陽的物理課》第三十八期開播，搜狐創始人、董事局主席兼CEO張朝陽坐鎮搜狐視頻直播間，從物體在萬有引力下的運動軌跡方程出發，通過數學推導對這兩個問題作了詳細解答。

復習萬有引力下的衛星軌跡計算橢圓軌道時的極值距離

直播開始，張朝陽先帶網友復習了物體在萬有引力下的軌跡方程是怎樣導出的。他在白板上寫出了上次課程得到的物體在萬有引力作用下的徑向運動方程和角向運動方程：

其中的右上角撇號表示對時間的導數。他再次解釋了r^2θ’是一個常數，相當于說，行星繞著恒星旋轉時，行星連接恒星的線段在單位時間內掃過的面積是一個常數，這也就是開普勒第二定律。在課程直播里，張朝陽用a來表示r^2θ’這個常數，也就是a=r^2θ’，或者θ’=a/r^2。把此式代入徑向方程，替代其中的θ’可得：

張朝陽繼續著對軌道方程的推導。他說，既然是求軌道方程，那么我們就不會關心r作為時間t的函數。在極坐標上，曲線方程一般由r=r(θ)給出，因此我們應該關心r作為θ的函數。于是他將式子中的對時間二次導數化成了對角度的導數：

張朝陽提示大家，從這個式子以及前面的徑向方程來看，都存在很多1/r，那么如果做一個y=1/r的代換，會不會讓方程變得簡單呢？再代換后得到：

等式右邊剛好等于上一個式子方括號里邊的部分。借助這一個“巧合”，可以得到了一個簡潔的方程：

其中y=1/r。張朝陽解釋，解方程的時候要觀其“面相”，而且這個問題下是向心力在作用，因此使用極坐標，這叫順勢而為。通過求這個方程的通解，可以得到這個物體的運動軌跡在極坐標下的方程:

這個結果表明物體的運動軌跡只能是橢圓、拋物線或者雙曲線。當軌跡是橢圓時，如果A>0，那么這個軌跡的遠地點就是軌跡上θ=π的點，遠地點距離是1/(B-A)；這個軌跡的近地點是軌跡上θ=0的點，近地點距離是1/(A+B)。

在帶著網友們完整地復習了上一次直播內容后，他以衛星繞地球作圓周運動為例來說明如何運用這個軌道方程。在圓周運動下，半徑為常數，不隨角度變化，因此A=0，r=1/B=a^2/GM。將a=r^2θ’=vr代入并且移項，于是有:

張朝陽解釋，這個式子兩邊乘上衛星的質量m后，左邊就是衛星的加速度乘以質量，右邊就是衛星受到的引力，這就是普通的牛頓第二定律。這也從側面表明了推導出來的軌道方程是正確的。

飛船以第二宇宙速度切向飛出可逃離地球引力飛至無窮遠處

從上期直播課的計算可以得知，當飛船沿徑向以第二宇宙速度飛離地球，是可以脫離地球的引力束縛去到無窮遠處的。此前，張朝陽也向直播間的網友們提了一個問題，如果飛船以第二宇宙速度沿切向飛出呢？他說，目前我們求得了軌道方程，那么關于軌道的一切問題我們都可以解答，“現在讓我們來回答這個問題。”

張朝陽指出，當飛船在離地心距離為r0的位置以第二宇宙速度沿切向飛出，那么有r0v2=a，v2在這里表示第二宇宙速度，它滿足:

將v2用a/r0代換后，可以得到:

移項就得到:

也就是r0=1/(2B)。同時，根據軌道方程θ=0的初始位置條件有r0=1/(A+B)。結合這兩個式子，可知A=B，接著對軌道方程作如下推導：

張朝陽對這個式子作了進一步解釋，初始位置是θ=0處，帶進去就得到r=r0。當θ越來越接近π，由于cos(π)=-1，飛船距離地心的距離r將會趨向于無窮大。因此飛船飛到了無窮遠處。也就是說，飛船逃逸出了地球的引力束縛。張朝陽還說到，這時候的軌跡是一條拋物線。

(張朝陽對飛船以第二宇宙速度水平飛出的情況進行討論)

此外，他還對這個問題作了拓展，假如飛船是斜向上飛出，這時候可以把飛船的軌跡作一下反向延伸，根據能量守恒，在軌跡的近地點處，依然有mv^2/2=GMm/r，也就是在近地點處的速度就是相應位置的第二宇宙速度。

張朝陽解釋，第二宇宙速度是一個和距離有關的量。在軌跡的近地點處以相應位置的第二宇宙速度飛出就相當于水平以第二宇宙速度飛出，因此飛船是可以逃逸出地球的引力束縛而來到無窮遠處的。對于飛船是斜向下飛出的情況也類似，只不過因為地球是有大小的，飛船有可能會撞上地球。如果沒有撞上，它還是可以逃出地球去到無窮遠處。

(張朝陽對第二宇宙速度的問題作了拓展)

空間站在碰撞后軌跡會變成橢圓速度改變量很小時新軌道變化不大

關于空間站受到擾動會不會掉下來的問題，張朝陽采取簡化問題突出重點的策略，假設了空間站一開始做的是圓周運動，速度為v0，半徑為r0。然后在某時刻，空間站碰到一些什么碎片，或者受到太陽風的影響，空間站的速度變成了v0+Δv，速度方向不變。

根據推導出來的軌跡方程，知道空間站在碰撞后軌跡會變成橢圓。因此需要計算出這個橢圓的參數，看看和原來的軌跡相比變化大不大。在原來的圓周運動下，A0=0，r0=1/B0。在碰撞后，空間站有了新的軌跡：

張朝陽介紹，因為擾動的瞬間，空間站的位置并沒有變化，因此新的軌跡和舊的軌跡必然有重合點。又因為擾動沒有改變速度方向，因此這個重合點必然在新軌跡的近地點或者遠地點處。因此有

在這里，A可以大于0，也可以小于0。大于零就表明此處是近地點，小于零就表明此處是遠地點。

他接著寫下了速度在極坐標基矢下的展開式：

借助勾股定理并且代入θ’=a/r^2，得到:

假如此時飛船受到了微擾，那么速度大小v改變了，同時a也改變了，但是半徑不變。于是，通過對上式進行微分，有:

由于假設改變的只是速度大小而非方向，再加上原來的速度方向是沿著地球切向的，因此上式右邊第一項為0，如此可得到:

根據B=GM/a^2，也就是Ba^2=GM是個常數，有:

結合前面倒數第二個式子，可以得到:

又因為r0=1/B0=1/(A+B)，也就是A+B=B0，所以:

于是得到：

將這個結果代回軌跡方程，最終得到:

這就是擾動后的軌道方程。張朝陽還做了進一步的解釋，當Δv大于零時，擾動位置將成為新軌道的近地點；當Δv小于零時，擾動位置將成為新軌道的遠地點。并且，當速度的改變量很小時，新軌道相比于原來的軌道只改變了一點點，因此空間站并不會掉下來。

(張朝陽介紹擾動后軌道的變化情況)

截至目前，《張朝陽的物理課》已直播三十余期。從去年11月開啟第一節物理直播課，他先是從經典物理學開始，科普了牛頓運動定律與能量動量守恒原理等；接著從經典物理的“兩朵烏云”說起，向近現代物理過渡，探討了黑體輻射、光電效應等問題。而后在量子力學上從薛定諤方程出發，陸續推導介紹了無限深勢阱、氫原子波函數，及諧振子量子化等更加具體實用的案例。內容豐富、覆蓋廣泛，理論公式由淺入深、繁簡交融。

從此前的物理直播課可以看出，《張朝陽的物理課》的直播風格獨樹一幟：注重推導，通過一步一步詳盡的數學計算，推導出相關的物理公式，把每個公式從頭到尾拆解得十分清晰。據了解，《張朝陽的物理課》于每周周五、周日12時在搜狐視頻直播，網友可以在搜狐視頻“關注流”中搜索“張朝陽”，觀看直播及往期完整視頻回放。